Strömungslehre

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Allgemeine Grundlagen[Bearbeiten]

Die Strömungslehre befasst sich mit der Bewegnug von Teilchen. Unterschieden werden komprimierbare Gasteilchen oder inkompressible Fluidteilchen. Beschrieben werden Strömung einerseits durch statische Größen wie die Dichte , den Druck p und die Temperatur T und andererseits durch die dynamische Größe wie die Geschwindigkeit v.

Gebrauchte Größen[Bearbeiten]

Zur Erinnerung: 
Dichte
wobei m = Masse und V = Volumen
Druck p = 
wobei F = Kraft und A = Fläche

Es gibt den normalen (statischen) Druck der durch die Masse und die Erdanziehung pro Fläche erzeugt wird. Es gibt aber auch den Schweredruck p(z) der im inneren von Fluiden wirkt und proportional zur Höhe z ist. Dieser Druck wirkt in alle Richtungen gleichzeitig und erzeugt auch an der Wand eine Druckkraft.

p(z) = P0 +  * g * z

Bei Feststoffen kommt es aufgrund der Pulverschüttung zum Druckabbau. Hier ist das p(z)-Diagramm nicht mehr linear.

Hydrostatisches Paradoxon[Bearbeiten]

Hydrostatisches Paradoxon

Das hydrostatische Paradoxon beschreibt die Tatsache, dass die Bauform des Behälters relativ egal ist. Solange die Bodenfläche (A1) und die Höhe (Z bzw. h) gleich sind wird von der Flüssigkeit der gleiche Druck auf den Boden ausgeübt.
Wird jedoch bei diesen unterschiedlichen Gefäßen eine Kraft (F) auf unterschiedlich große Oberflächen (A1, A2, A3) ausgeübt, resultieren daraus unterschiedliche Drücke (p1, p2, p3).
p3(z) < p1(z) < p2(z), da sich nicht ändern hängt der Druck einzig und allein von der Fläche ab auf die die Kraft ausgeübt wird.

Typische Strömungsgeschwindigkeiten[Bearbeiten]

  • 0,2 - 2 m/s hochviskose Lösungen
  • 2 - 4 m/-s niedrig viskose Lösungen
  • 10 - 30 m/s Gase und gesättigter Dampf
  • 30 - 60 m/s überkritischer Dampf

Strömungstypen[Bearbeiten]

Man kann zwischen stationärer und instationärer Strömung unterscheiden. Man stelle sich einen großen Behälter vor, der in der Nähe des Bodens einen Ablauf hat. wird der Behälter kontinuierlich mit der gleichen Menge befüllt wie durch den Ablauf entweicht bleibt die Srömungsgeschwindigkeit (v) über die Zeit (t) konstant. Die Ableitung = Null
Läuft der Behälter aber einfach nur aus und wird nicht gleichzeitig neu befüllt, dann verringert sich im Laufe der Zeit die Geschwindigkeit (v). Die Ableitung ist ungleich Null.

Ideale Fluide[Bearbeiten]

Ideale Fluide werden wie folgt beschrieben:

  • inkompressibel
  • = konst
  • reibungsfrei
  • Es existieren nur Kräfte die senkrecht zur Fläche wirken = Druckspannung.
  • Es existieren keine Kräfte die schräg zur Fläche wirken = Schubspannung.
  • Das Fluid ist Wärmeausdehnungsfrei.

Diese Annahmen wirken im ersten Moment relativ unrealistisch, doch vereinfachen sie die Berechnung um einiges und man kann einige Modelle daraus entwickeln.

Es gelten sowohl Massen- als auch Energieerhaltung.
Der Massenstrom der ein Rohr "durchströmt" ändert sich nicht wenn das Rohr dünner wird.

A1 * v1 *  = A2 * v2 *    

Da es sich um ein ideales Fluid handelt ist = . Somit kann die obere Gleichung vereinfacht werden:

A1 * v1 = A2 * v2  (= Kontinuitätsgleichung)

Die Gesamtenergie eines strömenden Fluids ändert sich nur wenn von außen (z.B. durch Pumpen oder Turbinen) Energie zu- oder abgeführt wird. Die Energien können sich jedoch ineinander umwandeln:

  • Lageenergie Epot = m * g * h = Energieänderung proportional zur Höhe des Rohrs.
  • Druckenergie Ep = m *
  • Kinetische Energie Ekin = 1/2 m * v2
  • Innere Energie Ei = m * u

m1 * g * h1 + 1/2 m1 v2 + m1 * u1 = m2 * g * h2 + 1/2 m2 v2 + m2 * u2

Da m1 = m2 und da sich die innere Energie idelaer Fluide nicht ändert, kann man die obere Gleichung zur Bernoulligleichung zusammenfassen:

g * h +  = konstant

Wird die innere Energie mitberücksichtig, erhält man die Energiegleichung = g * z + + u = konstant

Anwendung der Bernoulli-Gleichung[Bearbeiten]

Aus der Bernoulli-Gleichung lassen sich 3 Gleichungen ableiten, die jeweils durch einen Dynamischen, geodätischen und statischen Anteil aufweisen:

Gleichung Dynamischer Anteil Geodätischer Anteil Statischer Anteil Einheit
Energiegl. + g * h +
Druckgl. + * g * h +
Höhengl. + h + m

Diese 3 Gleichungen beschreiben das Strömungsverhalten idealer Fluide. In der Praxis kann man sie anwenden um beispielsweise das Auslaufverhalten von Behältern zu ermitteln.

Reale Fluide[Bearbeiten]

Bei einem realen Fluid entsteht zwischen unterschiedlich schnellen Fluidteilchen, sowie zwischen Fluidteilchen und Wand Reibung und somit zu Widerstandskräften. Entsteht die Reiung zwischen 2 Teilchen spricht man von innerer, entsteht sie zwischen Teilchen und Wand spricht man von äußerer Reibung.
Wie bei den idealen Fluiden wird die Wärmeausdehnung vernachlässigt.
Die Viskosität beschreibt die Fähigkeit eines Fluids Formveränderung und mechanischer Beanspruchung einen Widerstand entgegen zu setzen.

Plattenversuch[Bearbeiten]

Wird eine Platte auf einer ruhenden Flüssigkeit mit einer konstanten Geschwindigkeit v bewegt, werden Fluidteilchen die direkt an die bewegte Platte angrenzen infolge von Reibung bewegt. Teilchen die in unmittelbarer Nähe zum unbewegten Boden sind werden nicht bewegt.

F  * APlatte



   =  Newton'sches Fließgesetz

Mit = Schubspannung
= dyn. Viskosität
= Geschwindigkeitsgradient senkrecht zur Strömungsrichtung.

Es entstehen unterschiedlich schnell bewegte Schichten, die in unmittelbaret Nähe zur bewegten Platte werden natürlich am schnellsten bewegt. Die am Boden gar nicht. Dadurch ergibt sich eine schräge Frontlinie.

In der Realität ist die Frontlinie bogenförmig. Daher wird der Geschwindigkeitsgradient über tan () =

Newton'sche Fluide[Bearbeiten]

Ist bei einem Fluid die dynamische Viskosität () bei unterschiedlichen Geschwindigkeitsgradienten () konstant, wird es als Newton'sches Fluid bezeichnet.

Viskosität[Bearbeiten]

Bei der Viskosität handelt es sich um eine Stoffeigenschaft, die temperaturabhängig ist.
Bei Flüssigkeiten ergibt sich nach Arrhenius für die Viskosität: , d.h.
Bei Gasen ist
Die Druckabhängigkeit ist vernachlässigbar. Es sei denn bei hohen Drücken (Bsp: Hochdruckbehandlung).

Die Viskosität kann aber auch vom Schergefälle abhängen. Dies ist häufig bei Lebensmitteln der Fall.


Ist dies der Fall werden die Fluide als Nichtnewton'sche Fluide bezeichnet. (Beispiele wären Treibsand, Blut und Ketchup ok ok da ist nur ein Lebensmittel dabei, aber die Beispiele sind sehr einleuchtend)

Nichtnewton'sche Fluide[Bearbeiten]

  • Thixotrop: Sinkt die Viskosität einer Flüssigkeit während eine konstante Schubspannung (Rühren oder Schüttel) einwirkt und erreicht einige Zeit nach der Einwirkung wieder die Ausgangsviskosität, spricht man von thixotropen Flüssigkeiten. Das ist auch der Grund, warum aus der Ketchupflasche erst nichts und dann wenn man etwas schüttelt alles rauskommt. Eine weitere Anwendung gibts es in der Farbindustrie. Während des Aufbringens der Farbe wird sie durch die Scherspannung etwas dünnflüssiger um kurze Zeit später wieder viskoser zu werden. Dies verhindert die Nasenbildung.
  • Rheopex: Als rheopexes Fluid bezeichnet man Fluide bei denen die Viskosität steigt während eine konstante Scherwirkung ausgeübt wird. Nach der Einwirkung der Kraft sinkt die Viskosität zeitabhängig wieder auf den Ausgangswert. (Bsp: Treibsand)

Die 2 genannten Vorgänge sind reversibel und zeitabhängig, dass heißt, das die Änderungen nur Auftreten solange eine Kraft wirkt. Hört die Wirkung auf, kehren sie in ihren Ausgangszustand zurück.

Sind die Vorgänge proportional zur Scherbelastung spricht man von dilatant oder strukturviskos.

  • Strukturviskos: Bei kleinen Scherkräften haben diese Fluide eine hohe Viskosität. Bei stärkerer scherbelastung sinkt die Viskosität. Blut hat beispielsweise bei kleinen Scherkräften eine hohe Viskosität. Bei stärkeren Scherkräften verformen sich die roten Blutkörperchen zu eher länglichen Gebilden. Dadurch kann das Blut besser durch die kleinen Adern fließen.
  • Dilatant: Bei dilatanten Fluiden steigt die Viskosität mit steigender Scherbelastung.

Als Fließgrenze wird die Kraft bezeichnet, die aufgebracht werden muss um einen Stoff zum Fließen zu bringen.

Zusammenfassung[Bearbeiten]

Fließverhalten n Bsp
Newton konst. = 0 1 Wasser, Milch
Bingham = f() > 0 1 Kartoffelbrei
= Newton'sches Fluid mit Fließgrenze
strukturviskos = f() = 0 0 < n < 1 Meiste LM, z.B. Kochkäse
dilatant = f() > 0 n > 0 Eukalyptushonig
Herschel-Burkley = f() > 0 n > 0 Senf, gerührter Joghurt
= strukturviskos mit Fließgrenze
thixotrop = f(t) Majo, Xanthan
rheopex = f(t) hochkonz. Stärkesuspension


Fazit: Die Viskosität ist eine wichtige Eigenschaft in der Verarbeitung von Werkstoffen aber auch von vielen Lebensmitteln. Ein Beispiel wo einem die Viskosität einen Streich spielen kann ist folgender. Man plant beispielsweise einen Prozess zur Herstellung von Kräuteressig. Der Kunde freut sich immer, wenn die Kräuter schön verteilt im Essig "schweben" und sich nicht am Boden absetzen. Der Prozess ist bis zur Abpackung und Aufladung auf einen LkW durchgeplant. Hat man aber vergessen die Kräfte zu berücksichtigen die beim Transport auf den Essig wirken, kann sich ein Problem entwickeln. Das Rütteln des LKWs bei der Fahrt sorgt bei thixotropen Flüssigkeiten für eine Scherverdünnung, d.h. die Viskosität sinkt und somit sinken auch die Kräuter ab. Kommt der LKW beim Laden an sind alle Kräuter auf dem Boden. :-(
Der Kunde freut sich dann nicht. Obwohl sich beim Stehen im Regal die Viskosität wieder "erholt" hat und eine einfaches Kippen ausreichen würde um die Kräuter wieder zu verteilen.

Dimensionslose Beschreibung[Bearbeiten]

Da die Strömungsvergänge realer Fluide meist sehr komplex sind, können sie nicht rein mathematisch gelöst werden. In der Regel werden experimentell gewonennene Daten ausgewertet. Da es im Originalmaßstab meist schwierig ist, werden Modelle zur Ermittlung der Daten verwendet.
Um vergleichbare Werte wie das Original zu erhalten muss das Modell einigen Ansprüchen genügen. Die geometrische Ausdehnung (Länge, Breite, Höhe, Material etc) kann relativ einfach im Modell nachgestellt werden. Die physikalischen Ähnlichkeiten zu beschreiben ist schwieriger.
Bei einem rechteckigen Objekt (z.B. Längsschnitt durch ein Rohr) muss das Verhältnis von Durchmesser zu Länge konstant sein. Auch das Verhältnis der Rauigkeit des Materials zum Rohrdurchmesser sollte konstant sein. Zu guter Letzt muss auch noch das Verhältnis der beteiligten Kräfte konstant bleiben.
Die Dimensionsanalyse versucht physikalische Zusammenhänge dimensionslos und damit unabhängiger, zu beschreiben. Der Vater der Dimensionsanalyse ist William Froude. Er hat ein Verfahren ermittelt um den Widerstand von Schiffen durch Modelle zu ermitteln. Sind die Froude-Zahlen (Fr) von Modell und Schiff gleich, kann der Widerstand des Schiffes über dieses Modell ermittelt werden.

Fr = 

Mit G = m * g und Fa = m * a.

Die Froudezahl ist eine wichtige Kennzahl zur Beschreibung von Rührbehältern und Zentrifugen.

Eine weitere Kennzahl stellt die Reynolds Zahl (Re) dar. Auf ein beschleunigtes Massenteilchen in einer Strömung wirken mehrere Kräfte:

Trägheitskraft = Druckkraft - Reibungskraft
Fa = Fp - Fw

Sind sich 2 Fluidströmungen ähnlich, so muss das Verhältnis der Kräfte gleich sein.

 = konstant

Daraus ergibt sich:


Dies lässt sich umstellen zu:


Bringt man alle gleichen Indizes auf jeweils eine Seite ergibt sich folgendes:

 = konstant

Für die Reynolds Zahl ergibt sich dann folgendes:

Re = 

wobei = Dichte, I = charakteristische Länge, = charakteristische Viskosität, = Geschwindigkeit und

Die Reynolds Zahl charakterisiert den Strömungszustand eines Flüssigkeit. Für verschiedene Systeme ergibt sich ein sprunghafter Übergang bei Re > Rekrit von einer Strömungsform zur anderen.

Strömungsarten[Bearbeiten]

Ideale, laminare und turbulente Strömung im Vergleich

Ist die Reibungskraft größer als die Trägheitskraft spricht man von laminarer Strömung. Das heißt es handelt sich um eine geordnete Bewegung der nebeneinanderliegenden Schichten. Die Reynolds Zahl ist dem entsprechend klein.
Überwiegt die Trägheitskraft resultiert daraus eine hohe Reynolds Zahl. Die Strömung wird nun als turbulent bezeichnet. Es kommt zu regellosem Austausch von Fluidmolekülen zwischen den Schichten. Die Folge ist Wirbelbildung.
Der Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung ist eine Funktion der Geschwindigkeit, der Viskosität und der Oberflächenrauigkeit.
Für glatte Rohre eribt sich ein Rekrit von ca. 2040. Ist Re < Rekrit ist die Strömung laminar und somit stabil. Liegt der Re zwischen 2300 und 10.000 befindet sich die Strömung in einem Übergangsbereich. Bei Reynolds Zahlen > 105 kommt es zur instabilen turbulenten Strömung.

Die Geschindigkeit der laminaren Strömung ist eine Funktion des Radius. Schichten in der Mitte des Rohrs bewegen sich schneller als jene am Rand. Hier entsteht Reibung und sie werden sozusagen "abgebremst".

Erweiterte Bernoulli-Gleichung[Bearbeiten]

Der Strömungsenergie realer Fluide wird ein Anteil entzogen um einerseits Reibungswiderstände überwinden zu können und um andererseits die Wirbelbewegung aufrecht erhalten zu können. Dieser Energieverlust (Ev) muss in der Bernoulligleichung berücksichtigt werden: Ev = m * ev (ev spezifische Verlustenergie = ).

g * h1 +  = g * h2 +  

Die spezifische Verlustenergie ist von vielen Parametern abhängig: Durchmesser und Länge des Rohres, Rauigkeit der Rohrwand, sowie Viskosität und Dichte der Flüssigkeit.


Druckverluste bei laminarer Strömung[Bearbeiten]

Die Kräftebilanz ergibt sich aus: F1 - F2 - Fw = 0




Nun kann man das newtonsche Fließgesetz heran ziehen, gleichsetzen und von r bis r=R integrieren:






Bei r = 0 ergibt sich vmax =

Dadurch kann der Druckverlust berechnet werden.

Die mittlere Geschwindigkeit kann über den Volumenstrom und die Fläche A.


Mit A = * r2 und dA = 2 * * r dr

= 

= 

= 

Daraus ergibt sich nun der Volumenstrom mit:




Vorher hatten wir für vmax = erhalten. Setzt man dies nun ein ergibt sich:

 

Dadurch lässt sich das Gesetz von Hagen-Poiseuille beschreiben:


Der Volumenstrom ist proportional zum Druckverlust und zu R4.
Laminarer Druckverlust:

ist die Rohrreibungszahl und wird wie folgt berechnet:


(Zur Erinnerung: ist die charakteristische kinematische Viskosität.) Die Rohrreibungszahlen in Abhängigkeit zur Reynolds Zahl kann dem nach dem deutschen Physiker benannten Nikuradse-Diagramm entnommen werden.

Druckverlust bei turbulenter Strömung[Bearbeiten]

Bei zunehmend turbulenter Strömung nimmt der Einfluß der Viskosität ab, der der Dichte nimmt zu.

Bei der turbulenten Strömung berechnet man die Rohreibungszahl mit Hilfe von Näherungen. Man kann folgende Fälle unterscheiden:

A) Hydraulisch glattes Rohr, das heißt, die Unebenheiten der Wand des Rohres sind zur Gänze von einer viskosen Unterschicht umhüllt. Der Wert von errechnet sich mit der Formel von Prandtl:


Eine häufig verwendete einfache Korrelation zur näherungsweisen Berechnung des Druckverlustverhaltens des glatten Rohres im Bereich Re<105 ist die nach Heinrich Blasius:


B) Hydraulisch raues Rohr, das heißt die Unebenheiten der Wand des Rohres werden nicht mehr von einer viskosen Unterschicht umhüllt. Der Wert von errechnet sich mit der Formel von Johann Nikuradse:


Wobei d = Durchmesser des Rohres und k = absolute Rauigkeit.

C Übergangsbereich zwischen den vorstehend angeführten Zuständen. Hier gilt nach Cyril Frank Colebrook:



Einige Richtwerte für die Rauigkeit von MAterialien[Bearbeiten]

k [mm] Material
10-3 - 5*10-3 Glas, Kupfer oder Kunststoff
10-2 - 5*10-2 gezogene Stahlrohre
0,005 - 0,1 neugeschweiste Rohre
0,15 - 0,2 leichte Verkrustungen
0,2 - 0,3 schwere Verkrustungen