Schrödinger-Gleichung

Aus Chemie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

Grundlagen[Bearbeiten]

Die Schrödingergleichung bildet das Fundament für fast alle praktischen Anwendungen der Quantenmechanik.

Die Schrödinger-Gleichung ist, wie die Newtonschen Axiome in der klassischen Physik, ein Postulat und lässt sich deshalb auch nicht mathematisch streng herleiten. Vielmehr wurde die Gleichung 1926 von Erwin Schrödinger (1887–1961), gestützt auf die bereits zu seiner Zeit bekannten quantenmechanischen Phänomene, als neue Theorie postuliert. Die Gleichung wurde zunächst als Wellengleichung aufgestellt und schon bei ihrer ersten Anwendung erfolgreich zur Erklärung der Spektren des Wasserstoffatoms genutzt.

Die Schrödinger-Gleichung ist strenggenommen nur für Einteilchen-Probleme exakt lösbar, deshalb hat man für die Lösung von Mehrteilchenproblemen definierte Näherungen eingeführt. Die Massen der Elektronen werden als unabhängig von ihren Geschwindigkeiten betrachtet. Damit werden die Gesetze der Relativitätstheorie auf molekularer Ebene vernachlässigt.

Allgemeine Gleichung[Bearbeiten]

Die Schrödinger-Gleichung wird wie folgt formuliert:

Wellenfunktion[Bearbeiten]

Die Unbekannte der Schrödingergleichung ist die Wellenfunktion (psi), die von den drei Raumkoordinaten (x,y,z) und der Zeitkoordinate (t) abhängt. Die Wellenfunktion enthält eine Beschreibung aller Informationen eines Systems. Die Wellenfunktion beschreibt in der Quantenmechanik den Zustand eines Systems von Elementarteilchen im Ortsraum, ihr Quadrat bestimmt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens.

Hamilton-Operator (Ausdruck für die Energie)[Bearbeiten]

Bei handelt es sich um einen Operator, also eine Rechenvorschrift, die auf eine ganze Funktion angewandt wird und diese in eine andere Funktion überführt. Der Operator heißt Hamilton-Operator und bestimmt in der Quantenmechanik die möglichen Energiemesswerte des zugehörigen physikalischen Systems und dessen zeitliche Entwicklung, beispielsweise des Elektrons im Wasserstoffatom. Mathematisch gesehen entsteht die Schrödingergleichung aus dem Ausdruck für die Energie des betrachteten Problems (Hamilton-Funktion) durch Ersetzen der klassischen Größen Energie, Impuls und Ort durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren. Daraus lässt sich der Hamilton-Operator ableiten:

Er besteht aus zwei Teilen, der erste Teil des Operators errechnet die kinetische Energie des Systems. Hier taucht das Planck'sche Wirkungsquantum auf (geteilt durch 2 ). Außerdem spielt wie bei der klassischen kinetischen Energie (E = 1/2 mv2) die Masse eine Rolle. Das Symbol ist der Laplace-Operator und bezeichnet die doppelte Ableitung nach allen Raumkoordinaten, die kinetische Energie ist also von der Krümmung der Wellenfunktion abhängig. Die potentielle Energie V ist stark vom quantenmechanischen System abhängt.

Energie-Eigenwert[Bearbeiten]

Die Energie ergibt sich als sogenannter Energie-Eigenwert des Hamilton-Operators angewandt auf die Wellenfunktion .

Weiterführende Informationen[Bearbeiten]

Schrödinger-Gleichung ohne Formeln: http://www.quantenwelt.de/quantenmechanik/wellenfunktion/schrodinger.html

Lerneinheiten zur Quantenchemie: http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ch/2/vlu/modeling/mm_quan_ein.vlu.html